Un frattale è un oggetto geometrico dotato di omotetia interna: si ripete nella sua forma allo stesso modo su scale diverse, e dunque ingrandendo una qualunque sua parte si ottiene una figura simile all’originale. Si dice quindi geometria frattale, la geometria (non euclidea) che studia queste strutture, ricorrenti ad esempio nella progettazione ingegneristica di reti, nel moto browniano e nelle galassie^[1].

Questa caratteristica è spesso chiamata auto similarità oppure autosomiglianza. Il termine frattale venne coniato nel 1975 da Benoît Mandelbrot nel libro Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension per descrivere alcuni comportamenti matematici che sembravano avere un comportamento “caotico”, e deriva dal latino fractus (rotto, spezzato), così come il termine frazione; infatti le immagini frattali sono considerate dalla matematica oggetti di dimensione anche non intera. Ad esempio, la curva di Koch ha dimensione log⁡4log⁡3≈1,26186.

I frattali compaiono spesso nello studio dei sistemi dinamici, nella definizione di curve o insiemi e nella teoria del caos e sono spesso descritti in modo ricorsivo da algoritmi o equazioni molto semplici, scritte con l’ausilio dei numeri complessi. Ad esempio l’equazione che descrive l’insieme di Mandelbrot è la seguente:

an+1=an2+P0

dove an e P0 sono numeri complessi.

La natura produce molti esempi di forme molto simili ai frattali. Ad esempio in un albero, soprattutto nell’abete, ogni ramo è approssimativamente simile all’intero albero e ogni rametto è a sua volta simile al proprio ramo e così via; è anche possibile notare fenomeni di auto-similarità nella forma di una costa: con immagini riprese da satellite man mano sempre più grandi si può notare che la struttura generale di golfi più o meno dentellati mostra molte componenti che, se non identiche all’originale, gli assomigliano comunque molto. Frattali sono presenti anche in altri aspetti della natura, come nel profilo geomorfologico delle montagne, nelle nubi, nei cristalli di ghiaccio, in alcune foglie e fiori.^[2] Secondo Mandelbrot, le relazioni fra frattali e natura sono più profonde di quanto si creda.

A qualunque scala si osservi, l’oggetto presenta sempre gli stessi caratteri globali.

Una sostanziale differenza tra un oggetto geometrico euclideo ed un frattale è il modo in cui si costruisce. Infatti una curva piana si costruisce generalmente sul piano cartesiano, utilizzando una funzione del tipo:

f(x(t),y(t))=0

che descrive la posizione del punto sulla curva al variare del tempo t.

Invece la costruzione dei frattali non si basa su un’equazione, ma su un algoritmo. Ciò significa che si è in presenza di un metodo, non necessariamente numerico, che deve essere utilizzato per disegnare la curva. Inoltre l’algoritmo non è mai applicato una volta sola, ma la procedura è iterata un numero di volte teoricamente infinito: a ogni iterazione la curva si avvicina sempre più al risultato finale (per approssimazione) e, dopo un certo numero di iterazioni, l’occhio umano non è più in grado di distinguere le modifiche oppure l’hardware del computer non è più in grado di consentire ulteriori miglioramenti. Pertanto, quando si disegna concretamente un frattale, ci si può fermare dopo un congruo numero di iterazioni.

Alla base dell’auto-similarità sta una particolare trasformazione geometrica chiamata omotetia che permette di ingrandire o ridurre una figura lasciandone inalterata la forma. Un frattale è un ente geometrico che mantiene la stessa forma se ingrandito con una omotetia opportuna, detta omotetia interna.

L’insieme di Mandelbrot visto con una lente di ingrandimento sempre più potente ha sempre lo stesso aspetto.

Lo stesso argomento in dettaglio: Dimensione di Hausdorff.

La dimensione frattale, o dimensione di Hausdorff, è un parametro molto importante che determina il “grado di irregolarità” dell’oggetto frattale preso in esame.

Mandelbrot nel suo libro intitolato “Gli oggetti frattali” pubblicato nel 1975 afferma l’esistenza di differenti metodi per misurare la dimensione di un frattale, introdotti quando il matematico si cimentò con la determinazione della lunghezza delle coste della Gran Bretagna. Tra questi, il seguente.

Si fa avanzare lungo la costa un compasso di apertura prescritta h e ogni passo comincia dove finisce il precedente. Il valore dell’apertura h moltiplicato per il numero di passi fornirà la lunghezza approssimativa L(h) della costa; tuttavia rendendo l’apertura del compasso sempre più piccola i numeri di passi aumenteranno, l’apertura tenderà a zero e il numero dei passi tenderà all’infinito e la misura della lunghezza della costa tenderà all’esattezza.^{[Chiarire: manca il passaggio da qui alla dimensione.]}

Il caso può generare irregolarità ed è capace di generare un’irregolarità talmente intensa come quella delle coste, anzi in molte situazioni è difficile impedire al caso di andare al di là delle aspettative.

Il caso non deve essere sottovalutato nello studio degli oggetti frattali in quanto l’omotetia interna fa sì che il caso abbia precisamente la stessa importanza a qualsiasi scala. Pertanto gli oggetti frattali sono inseriti nel contesto dei sistemi dinamici caotici.

Nel corso della storia molti matematici sono arrivati alle loro scoperte inaspettatamente. Lo stesso Mandelbrot afferma di essere arrivato alle sue scoperte per puro caso. Un giorno egli si trovò nella biblioteca dell’IBM dove molti libri che nessuno aveva mai letto stavano per essere spediti al macero. Benoit aprì una rivista a caso e lesse il nome del meteorologo Lewis Fry Richardson. Questo nome era già noto al matematico polacco per gli studi che stava effettuando sulla teoria della turbolenza. Richardson era uno studioso bizzarro ed eccentrico che era solito porsi domande che nessuno altro avrebbe mai formulato. Queste sue stramberie risultarono nell’anticipare scoperte che alcuni studiosi realizzarono nei decenni successivi.

Nel libro Richardson si preoccupò di misurare la lunghezza delle linee costiere su scale differenti. Mandelbrot fotocopiò il disegno che descriveva queste misure e lasciò il libro dove si trovava per riprenderlo il giorno seguente, ma il libro sparì. Il disegno servì al matematico per formulare la teoria dei frattali perché faceva riferimento a qualcosa che noi tutti conosciamo, le coste. Mandelbrot si rese così conto che tutti gli studi effettuati da lui stesso avevano qualcosa in comune per quanto spaziassero tra discipline completamente differenti. Il modello di partenza era lo stesso: Mandelbrot si preoccupò di definire l’apparente caos insito in essi.

FONTE E MOLTE ILLUSTRAZIONI QUI

XaoS

XaoS è un programma per la generazione di frattali che ne consente la visualizzazione e lo zoom in tempo reale.

XaoS è distribuito sotto la licenza GPL ed è disponibile per molteplici sistemi operativi, tra cui GNU/Linux, Windows, Mac OS, BSD BeOS ed altri.

Il programma è in grado di riprodurre i frattali di Mandelbrot, di Newton e frattali di altro genere, tra cui quelli generati da equazioni definibili dall’utente.

XAOS HOME PAGE